通过前面的学习，我们知道了，定积分可以通过牛顿—莱布尼兹公式问题转换为线段两个端点的某个函数差。二重积分可以通过格林公式转换为积分区域边界线的曲线积分。
今天我们来学习三重积分通过高斯公式转换为积分区域边界面的曲面积分。
高斯公式：设Ω是一个空间闭区域，其边界曲面Σ由分片光滑的闭曲面围成，曲面Σ的方向取外侧。函数P，Q，R在Ω上具有一阶连续偏导数，则有：
或
其中cosα，cosβ，cosγ是Σ上点（x，y，z）处的法向量的方向余弦。上述两个公式都称为高斯公式。由于对坐标的曲面积分与对面积的曲面积分是可以互相转化的，所以上两个公式等价。
下面给出高斯公式的证明过程:
(1)假设Ω是简单区域，即Ω同时是xy，yz和zx型区域（xy型区域指如果Ω区域投影到xoy坐标面，一个xoy坐标面的点（x，y）对应了多个z，那么为xy型区域。）。
由于P，Q，R是不相关的，这里只证明第三项，其余两项可类似证明。如图所示。
设Ω在xy面上的投影区域为Dxy，且
Σ1：z=z1(x,y),方向取下侧；Σ2：z=z2(x,y),方向取上侧；
Σ3是以Dxy的边界曲线为准线，母线平行于z轴的柱面部分，方向取外侧。此时区域Ω可表示为：
一方面：
另一方面：
即：
综上可得：
同理可证，当Ω分别按照yz型和zx型区域计算时，有：
将三个等式相加即得所证高斯公式：
（2）若Ω不是简单区域，则可通过添加辅助面的方法将其分割为若干个简单型区域，在辅助面正反两侧的曲面积分恰好正负抵消，故上式仍然成立。利用两类曲面积分得关系可得：
至此，高斯公式得以证明。
几点说明：（1）在利用高斯公式计算对坐标的曲面积分时，曲面Σ是有向封闭光滑（或是分片光滑）的，如果Σ不封闭，则可以添加辅助面时其封闭，然后再用高斯公式计算，但是同时还要减去添加的辅助面部分的曲面积分。
（2）在定理中，若P=x，Q=y，R=z，由高斯公式可得：
正向闭曲面Σ所围区域Ω的体积为：
下面通过一个例子加深理解。计算曲面积分：
其中Σ为平面x=0，y=0，z=0，x=a，y=b，z=c所围的立体的表面，方向指向外侧。
解：易见，在曲面积分中，
于是：
利用高斯公式可得：
希望本文对你学习高斯公式有所帮助。