连续函数的中值定理，又称“介值定理”，是微积分中的重要定理之一。该定理告诉我们，连续函数可以取到它在闭区间上的任意值。即：如果一个函数在闭区间上连续，且在区间的两个端点上取到不同的函数值，那么在两个函数值之间的任意一个值都可以在该闭区间上找到一个对应的自变量值。
定理的数学表述：
如果函数φ(x)在闭区间[a，b]上连续，并且φ(a)≠φ(b)，那么，对于在φ(a)和φ(b)之间的任意实数μ，都存在 c ，使得 φ(c)=μ，a＜c＜b成立。
证明：
因为φ(a)≠φ(b)，所以φ(a)＞φ(b)或者φ(a)＜φ(b)，我们仅对φ(a)＜φ(b)的情况进行证明。
此时，φ(a)＜μ＜φ(b)，设S是满足φ(x)≤μ，a≤ x＜b的实数x的全体集合，
因为φ(a)＜μ，所以a∈S，设S的上确界为c，如果c∉S，则存在收敛于c的数列
如果假设φ(c)＜μ，因为φ(x)是连续函数，所以满足|x-c|＜δ，φ(x)＜μ的正实数δ一定存在，则c＜x＜c+δ，x∈S，这与c是S的上确界相矛盾，
所以，φ(c)=μ 。
定理意味着，在世界各地的任何一个大环境中，对于温度、压力、高程、二氧化碳浓度来说，如果是连续变化的，那么总是会存在两个与该变量相同值的对映点。其重要性不仅在于它告诉我们连续函数的取值范围，还在于它为我们提供了一种分析连续函数的方法，通过观察函数在闭区间上的取值情况，我们可以推断出函数的一些性质，比如函数的最大值、最小值、极值点等。这对于优化问题、极值问题等数学应用具有重要意义。